Cartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera.

Transkript

1 yfte : 1 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 1. Vektoranalys. Definiera och analysera begrepp analysen för vektorfunktionen. 1.1 Varför vektorer : Rumskonceptet En punkt i ett normalt rum som lektionssalen kan uttryckas i form av koordinater. Vi beskriver punkten i form av (1) avståndet från väggen med tavlan, (2) Avståndet från fönsterväggen och (3) höjden över golvet. Dessa Cartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis de bästa alltid. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera. - En godtycklig rörelse i lektionssalen beskrivs bäst i Cartesiska koordinater. - Rörelsen hos en fluga som sitter på ett snurrande cykelhjul bör delas upp i en (1) cirkulär rörelse för ett system som består av flugan och hjulet och (2) en eventuell cartesisk beskrivning av flugans rörelse relativt det snurrande cykelhjulet. Cirkulärt polära koordinater beskriver bäst hjulets (1) rörelse { x = r cos θ y = r sin θ (1.1.1) - Rörelsen på en sfärs yta beskrivs gärna med sfäriskt polära koordinater. Varje enskild koordinat definierar i någon mening en riktning i rummet. I ett koordinatsystem kan basriktningarna vara vinkelräta i förhållande till varandra men de behöver inte vara det Vektorer i rummet. Fysiken behandlar händelser i rumtiden. - I Newtons mekanik är tiden helt oberoende av rummet. I Newtons mekanik är tiden en skalär. En punkt i det tredimensionella geometriska rummet kan karaktäriseras av avståndet från tre fixpunkter. Den kan också beskrivas som en vektor. En vektor har en längd eller en norm. r = xˆx + yŷ + zẑ (1.2.1) r = r = En vektor är uppbyggd av basvektorer eller komponeter och multiplikativa skalärer x, y och z. x 2 + y 2 + z 2 (1.2.2) ˆx, ŷ och ẑ (1.2.3)

2 2 Nils Elander, 08/ / :2:1 En enhetsvektor har normen ett ˆr = r r = xˆx + yŷ + zẑ r (1.2.4) Vektorer kan (1) adderas ( subtraheras ) och (2)multipliceras ( divideras ) med skalärer C = A + B = ˆx (x A + x B ) + ŷ (y A + y B ) + ẑ (z A + z B ) αa = α(xˆx + yŷ + zẑ) = (αx)ˆx + (αy)ŷ + (αz)ẑ Norm och skalärprodukt. addition skalärmultiplikation (1.2.5) Antag att två vektorer i rummet A och B har minst en basvektor ( ex. ˆx, ŷ eller ẑ ) gemensam. A = x Aˆx + y A ŷ + z A ẑ B = x Bˆx + y B ŷ + z B ẑ (1.2.6) Betrakta speciellt C = x C ˆx och A = x Aˆx + y A ŷ + z A ẑ (1.2.7) Uttrycket C A = (x C ˆx) (x Aˆx + y A ŷ + z A ẑ) = x C x A (ˆx) (ˆx) = x C x A (1.2.8) definierar skalärprodukten mellan C och A. - Då två vektorer alltid definierar ett plan kan man säga att skalärprodukten avbildar ett tvådimensionellt rum på en skalär. ( Denna skalär kan uppfattas som en yta) - Vi inser att skalärprodukten är kommutativ C A = A C (1.2.9) Relationen A ˆx = A x {ˆx ˆx} = A x (1.2.10) definierar projektionen av A på ˆx. Denna relation kan självfallet generaliseras till godtyckliga enhetsvektorer. Normen av en vektor definieras genom A A = A x A x (ˆx ˆx) + A y A y (ŷ ŷ) + A z A z (ẑ ẑ) + = A 2 x + A 2 y + A 2 z A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1.2.11)

3 3 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 Vektorprodukten. I tredimensionella rum finns ytterligare en relation mellan två vektorer vektorprodukten ˆx ŷ ẑ C = A B = A x A y A z (1.2.12) B x B y B z Vektorprodukten är anti-kommutativ. A B = B A (1.2.13) Man kan ur def. av skalärprodukt och vektorprodukt visa att A x A y A z A (B C) = B x B y B z C x C y C z med flera relationer. (1.2.14) 1.3. Polära och Axiella Vektorer samt Permutationssymboler för vektorräkning : Levi-Civita En vektor V som vid en koordinattransformation transformerar enligt ˆx i = a ijˆx j i = 1, 2, 3. (1.3.1) j=1 v i = a ij v j (1.3.2) j=1 där Ā = {a ij } är en ortogonalmatris kallas för en polär vektor eller rätt och slätt en vektor. En vektor W som vid en koordinattransformation transformerar enligt ˆx i = a ijˆx j i = 1, 2, 3. (1.3.3) j=1 w i = det(a ij ) a ij w j (1.3.4) j=1 kallas för en pseudovektor eller en axial vektor. Exempel : Kryssprodukten mellan två vektorer C = A B är en axial vektor. Detta inses ur att exempelvis C 1 = (A B) 1 = A 2 B 3 A 3 B 2 ej byter tecken då A s och B s komponenter byter tecken. Vinkelhastigheten ω för ett roterande hjul är en axial vektor ty den har sambandet v = ω r

4 4 Nils Elander, 08/ / :2:1 med ortsvektorn r från ett origo på axeln till en punkt på hjulet och en hastighet v för denna punkt. Både r och v är polär vektorer. Kryssproduktens nyss nämnda egenskap medför således att ω är en axial vektor. Tänk dessutom på hur det roterande hjulet ser ut i en spegel! Permutationssymbolen eller Levi-Civitas symbol har egenskapen +1 med (ijk) = (123), (312), (231) ɛ ijk = 1 med (ijk) = (132), (213), (321) 0 annars Vektorprodukten mellan två vektorer A och B (1.3.5) C i = j,k=1 ɛ ijk A j B k (1.3.6) ger en tredje (axial) vektor C = A B Betrakta kryssprodukten mellan bas vektorer (ˆx, ŷ, ẑ) = (ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 ) ˆx 1 = 1ˆx 1 + 0ˆx 2 + 0ˆx 3 ˆx 2 = 0ˆx 1 + 1ˆx 2 + 1ˆx 3 (1.3.6) ˆx 3 = 0ˆx 1 + 0ˆx 2 + 1ˆx 3 Vi får exemplvis att ˆx 1 ˆx 2 ˆx 3 ˆx 1 ˆx 1 = = ˆx 1 ( ) + ˆx 2 ( ) + ˆx 3 ( ) Eller Allmänt gäller att Detta innebär att ˆx 1 ˆx 1 = ɛ 121ˆx 1 + ɛ 122ˆx 2 + ɛ 123ˆx 3 ˆx i ˆx j = ɛ ijkˆx k. k=1 C = A B = ( m=1 A mˆx m ) ( n=1 B nˆx n ) = m,n=1 A m B n ( ˆx m ˆx n ) = A m B n ɛ mnj ˆx j m,n,j=1

5 5 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 Den j:te komponenten är alltså A B j = m,n=1 A m B n ɛ mnj Vid studier av problem med mer än en vektorprodukt ( skalärprodukt eller vektorprodukt ) vare sig produkten innehåller ren vektormultiplikation eller formallt derivator i form av olika typer av nablaoperatorer ( grad =, div =, eller rot = ) kan vi använda tre nyttiga relationer med Levi-Civita : ɛ mnk ɛ ijk = δ mi δ ni δ mj δ ni k (a) ɛ mjk ɛ njk = 2δ mn j,k (b) (1.3.7) ɛ 2 ijk = 6 j,k (c) Ekv.(1.3.7(c)) kan förstås genom att enbart permutationer av serien 123 ger bidrag och detta är (±1) 2. Det finns enbart sex sådana. Rimligheten av ekv.(1.3.6(b)) framgår om vi inser att varje term som har m n ger bidraget noll då den innehåller en upprepning av index. EXEMPEL : Låt m = 1, n = 2 och betrakta ekv.(1.3.7(b)) j = 1 ɛ 111 ɛ ɛ 112 ɛ ɛ 113 ɛ j = 2 ɛ 121 ɛ ɛ 122 ɛ ɛ 123 ɛ j = 3 ɛ 131 ɛ ɛ 132 ɛ ɛ 133 ɛ j,k ɛ 1jk ɛ 2jk = 2δ 12 = 0 Med m = 1 = n får vi däremot : j = 1 ɛ 111 ɛ ɛ 112 ɛ ɛ 113 ɛ j = 2 ɛ 121 ɛ ɛ 122 ɛ ɛ 123 ɛ j = 3 ɛ 131 ɛ ɛ 132 ɛ ɛ 133 ɛ j,k ɛ 1jk ɛ 1jk = 2δ 11 = 2

6 6 Nils Elander, 08/ / :2:1 För att förstå relationen (1.3.7(a)) bör man skriva upp ock kontrollera alla relationerna och det tar för mycket plats här. Relationer innehållande upprepade nablaoperatorer behabdlas med fördel med Levi-Civita. ekv.(1.5.6) är ett exempel på detta kalära fält och deras differentialer. Betrakta en funktion av flera variabler r = x, y, z,... vilken antar enbart ett värde för en given koordinat r φ = φ(x, y, z,...) = φ(r). (1.4.1) En sådan funktion kallas ett skalärt fält. Differentialen dφ(x, y, z,...) = φ x dx + φ y φ dy + dz +... (1.4.2) z kan skrivas dφ(x, y, z,...) = [ φ(x, y, z,...)] dr = ( φ (r) ) dr (1.4.3) där vi definierar φ(x, y, z,...) = φ(r) = ˆx φ x + ŷ φ y + ẑ φ z... dr = dx ˆx + dy ŷ + dz ẑ +... (1.4.4) Gradient eller nabla operatorn kan skrivas som φ (grad φ) ˆx φ x + ŷ φ y + ẑ φ +... (1.4.5) z Vektorn φ är normal ( vinkelrät ) till en yta definierad av φ = konstant och pekar i riktning av växande φ.

7 7 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 Laplaceoperatorn definieras genom φ = 2 φ φ = ˆx ˆx 2 φ x 2 + ŷ ŷ 2 φ y 2 + ẑ ẑ 2 φ z 2... = 2 φ x φ y φ z 2... (1.4.6) 1.5. Vektorfält och deras differentialer. Betrakta en funktional V = V(x, y, z,...) = V(r) vilken entydigt avbildar ett koordinatfält r = (ˆx x, ŷ y, ẑ z,...) (1.5.1) på ett vektorfält r = (x, y, z,...) V(x, y, z,...) = ˆx V x + ŷ V y + ẑ V z +... (1.5.2) Divergensen def. av V ( div V) = V x x + V y y + V z z +... (1.5.3) Rotationen def. för ett tredim. koord. system av ˆx ŷ ẑ V ( rot V) = x y z V x V y V z ( V3 = ˆx 1 V ) ( 2 V1 + ˆx 2 V ) ( 3 V2 + ˆx 3 V ) 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 (1.5.4) = mnl ɛ mnl ˆx m V l x n Laplaceoperatorn kan nu också definieras ur = 2 = = divgrad (1.5.5) Egenskaper beroende på att en determinant med två lika rader ( eller ) kolumner är identiskt lika med noll.

8 8 Nils Elander, 08/ / :2:1 - V är divergensfritt ( V) = i x i ( V) i = i x i j,k ɛ ijk V k = 0 (1.5.6) x j då ɛ ijk är antisymmetrisk. - vektorn φ är rotationsfritt ˆx ŷ ẑ ( φ) = x y z φ(r) = 0 (1.5.7) x y z 1.6. Linje och ytintegraler Linjeintegraler Betrakta en kurva C i rummet. Den har två ändpunkter 1 och 2. φ(r) dr vektor dr (1.6.1) C C C V(r) dr skalär (1.6.2) V(r) dr vektor dr och V (1.6.3) Betrakta ett infinitesimalt ytelement d. Ett riktat ytelement d = ˆn d (1.6.4) φ(r) d vektor (1.6.5) V(r) d skalär (1.6.6) V(r) d vektor (1.6.7)

9 9 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 1) Arbete : W Låt V vara ett kraftfält : V = F = φ W = F dr = C C dφ = [φ(1) φ(0)] (1.6.8) 2) Flöde : Φ. Låt V = v vara ett hastighetsfält. Φ = v(r) d = flödet genom ytan i riktningen ˆn (1.6.9) 1.7. Gauss sats, kontinuitetsekvationen och Greens sats Vad är divergens? Betrakta en liten volym dx dy dz ett hastighetsfält v(x, y, z) hos en komprimerbar vätska med tätheten ρ(x, y, z) i punkten (x, y, z). Flödet R in i denna volym genom sidan EF GH är R EF GH = ρv x x=0 dy dz (1.7.1)

10 10 Nils Elander, 08/ / :2:1 Flödet ut ur ( i positiv x led ) volymen genom sidan ABCD är R ABCD = ρv x x=dx dy dz (1.7.2) Nettoflödet erhålles genom expansion ( MacLaurin serie ) [ R ut ABCD = ρv x x=dx dy dz = ρv x + ] x (ρv x) dx x=0 dy dz (1.7.3) Derivata termen ger en första korrektion vilket tillåter oss att behandla en icke uniform täthet eller/och hastighet. Betraktar vi skillnaden får vi R netto ut i x = x (ρv x) dx dy dz (1.7.4) vilket ger oss gränsvärdet till en punktegenskap lim x 0 ρ v x ( x, 0, 0) ρ v x (0, 0, 0) x ρ v x(0, 0, 0) x (1.7.5) (0,0,0) Generellt i en godtycklig punkt (x, y, z) [ ρ vx R netto ut i (x,y,z) = x + ρ v y + ρ v ] z y z dx dy dz = (ρ v) dx dy dz (1.7.6) Nettoflödet hos en komprimerbar vätska ut ur ett volymselement dx dy dz per tidsenhet är (ρ v) därför kallas denna storhet divergensen En direkt tillämpning är Kontinuitetsekvationen : ρ t + (ρ v) = 0 (1.7.7) Kombinationen (fv) där f är en skalärfunktion och V är en vektorfunktion (fv) = x (fv x) + y (fv y) + z (fv z) = f x V x + f y V y + f z V z + f x V x + f y V y + f z V z (1.7.8) =( f) V + f( V) Gauss sats. Låt vara en volym omgiven av en sluten yta och låt ˆn vara normalen till en godtycklig punkt på ytan och låt dτ vara ett volymselement.

11 11 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 Gauss sats : V(r) dτ = V(r) d (1.7.9) Bevis Dela upp volymen i N infinitesimalt små volymer. En sådan volym går i gränsen N mot en punkt. Varje volym kan speciellt sönderdelas i små rektangulära volymer τ. För varje sådan liten rektangulär volym gäller enl. ekv.(1.7.6) ( Nettoflödet ) : R netto ut i (x,y,z) = (ρ v) dx dy dz sex sidoytor V d = V dτ (1.7.10) ummera över alla små lådvolymer kommer enbart de yttre sidorna att ge bidrag. Alla inre ytor kommer att räknas två gånger då riktningarna är motsatta. yttre ytor V d = V dτ (1.7.11) små volymer V d = V V dτ (1.7.9) Divergensen kan tolkas som nettoflödet per volymsenhet. Om V(r) 0 så finns det källor eller sänkor. Kontinuitetsekvationen på ett annat sätt. Betrakta en vätska i en volym som inte innehåller en källa eller en sänka. Volymen omges av en sluten yta. Då massan bevaras är det totala flödet ut genom in och ut genom beskrivet av t ρ(r)dτ = [ρ(r)v(r)] d = [ρ(r) v(r)] dτ (1.7.12) Då denna ekv. är oberoende av så gäller kontinuitetsekvationen : t ρ(r) + [(ρ(r)v(r)] = 0. (1.7.13) Gauss operatoridentitet och Greens identitet Betrakta ett vektorfält vilket kan sönderläggas i ett skalärfält och en konstant riktning V(r) = e i φ(r) e i = (x, y, z) med i = 1, 2, 3 (1.7.14) Applicera Gauss sats ( ekv.(1.7.9)) V(r) dτ = V(r) d d e i φ(r) = d i φ(r) = dτ e i φ(r) = dτ x i φ(r) (1.7.15)

12 12 Nils Elander, 08/ / :2:1 Då riktningen av koordinatenhetsvektorn e i är godtycklig gäller att d φ(r) = d i φ(r) = dτ φ(r) (1.7.16) i Om vi nu jämför Gauss sats V(r) dτ = V(r) d (1.7.9) med ekv. (1.7.16) får vi Gauss operator identitet d = dτ (1.7.17) Utnyttja (1.7.17) på A(r) till att ge d A(r) = dτ A(r) (1.7.18) Greens identitet kan härledas genom att man betraktar två skalära fält u(r) och v(r) och ur dem skapar vektorfältet u(r) v(r) v(r) u(r). Gauss operatoridentitet ( ekv.(1.7.17)) ger Greens identitet: d {u(r) v(r) v(r) u(r)} = = dτ [u(r) v(r) v(r) u(r)] dτ [ u(r) 2 v(r) v(r) 2 u(r) ] (1.7.19) 1.8. Rotation och tokes sats Cirkulationen Γ C av ett vektorfält V(r) definieras av Γ C (V x dx + V y dy + V z dz). (1.8.1) C Riktningen av cirkulationen är motsols och svarar mot skruvregeln ( se nedan). Vad är rotation? Betrakta integralen i (1.8.1) för att beskriva cirkulationen hos en vätska runt en liten ( infinitesimal ) slinga i xy planet. Γ C 1234 = V x (x, y) dλ x + V y (x, y) dλ y + V x (x, y) dλ x + V y (x, y) dλ y (1.8.2)

13 13 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 I de olika integralerna är dλ x = dx (1) dλ y = dy (2) dλ x = dx (3) (1.8.3) dλ y = dy (4) Integranderna är skrivna med avseende på en punkt (x 0, y 0 ) så att en Taylorexpansion kan användas. Exempel V y (x 0 + dx, y 0 ) = V y (x 0, y 0 ) + [ ] Vy x (x 0 y o ) dx +... (1.8.4) Detta ger : Γ C 1234 =V x (x 0, y 0 ) dx + [ V y (x 0, y 0 ) + V ] y x dx dy [ + V x (x 0, y 0 ) + V ] x y dy ( dx) + V y (x 0, y 0 )( dy) (1.8.5) = ( Vy x V ) x y Dividerar vi ekv.(1.8.5) med dx dy får vi dx dy Γ C 1234 /per enhetsyta = V

14 14 Nils Elander, 08/ / :2:1 tokes sats Låt vara en sluten yta och C dess rand. Betrakta ett vektorfält V(r) Låt oss nu betrakta rektangeln 1234 igen och dela upp den i små rektanglar. För en liten infinitisimal rektangel gäller V dλ = V d (1.8.6) de fyra sidorna ummera nu över alla små rektanglar. De inre linjeintegralerna tar ut varandra medan ytona adderas V dλ = V d (1.8.7) de yttre linjesegmenten små rektanglar C V dλ = V d (1.8.8) En operatoridentitet. Betrakta ett vektorfält i form av en given riktning och en skalär potential. Använd tokes sats V(r) dr = c V(r) = e i φ(r) d ( V(r) ) = Då detta gäller för alla i följer att dr φ(r) = i C e i C c φ(r) dx i = (d ) i φ(r) (1.8.9) dx i φ(r) = (d ) φ(r). (1.8.10) vilket generaliserar tokes teorem till en operatoridentitet dr = ( d ) (1.8.11) C

15 15 Fysikens matematiska metoder. Vecka Helmholz teorem Detta avsnitt klargör varför begreppen gradient, divergens och rotation är centrala i beskrivningen av vektorfält. Två teorem ges utan bevis. En entydighetssats En vektorfunktion i ett område är entydigt given av sin divergens och sin rotation inuti området och sin normalkomponent på områdets yta. Helmholz teorem Varje vektorfält V(r) kan uttryckas med hjälp av en skalär potential φ(r) och en vektorpotential A(r) V(r) = φ(r) + A(r) (1.9.1) - Den rotationsfria delen av fältet beskrivs av φ(r) - Den divergensfria delen av fältet beskrivs av A(r) V(r) = 2 φ(r) V(r) = ( A(r)) = ( A(r)) 2 A(r) Gauge kan väljas så att (1.9.2) ( A(r)) = 0 (1.9.3) kalär potentitialen φ(r) och vektorpotentialen A(r) är, som framgår av ekv.(1.9.2), lösningar till potentialekvationerna (Poissons ekvationer) : 2 φ(r) = s(r) 2 A(r) = (r) med s(r) = V(r) med (r) = V(r) (1.9.4) Här är s(r) den skalära källtätheten (vilken i elektrostatiken kallas laddningstätheten) och (r) är vektoriella källtätheten. Från elektrostatiken påminner vi oss att en skalär potential kan uttryckas som φ(r) = 1 s(r2 ) dτ 2 = 1 V(r2 ) dτ 2 r 12 = r 1 r 2 (1.9.5) 4π r 12 4π r 12 Medan motsvarande ekvation för vektorpotentialen ges av åledes A(r) = 1 (r2 ) dτ 2 = 1 V(r2 ) dτ 2 r 12 = r 1 r 2 (1.9.6) 4π r 12 4π r 12 - Divergensen av ett vektorfält kan tolkas som källtätheten för dess skalära potential.

16 16 Nils Elander, 08/ / :2:1 - Rotationen av ett vektorfält kan tolkas som källtätheten för dess vektoriella potential Ortogonala kroklinjära koordinatsystem. Hittills har vi antagit att de koordinatsystem vi arbetat med är Cartesiska. Vi vet emellertid att exempelvis sfäriskt polära koordinater är lämpliga att använda inom delar av atomfysiken. Generaliserade koordinater. Låt u 1, u 2, u 3 utgöra ett koordinatsystem vilket unikt kan uttrycka positionen i en 3-D rymd. Detta nya koordinatsystems relation till det Cartesiska systemet ges formellt av u i = u i (x, y, z) x i = x i (u 1, u 2, u 3 ) i = 1, 2, 3 (1.10.1) Exempel : färiskt polära koordinater r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 θ = arctan[(x 2 + y 2 )/z 2 ] 1/2 φ = arctan(y/x) x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ Differentialer med vilket tillsammans ger dr = r u 1 du 1 + r u 2 du 2 + r u 3 du 3 (1.10.2) r = x ˆx + y ŷ + z ẑ = h i (r)û i (r) (1.10.3) u i u i u i u i dr = h i (r)û i (r)du i (1.10.4) i - Infinitesimala avstånd ds 2 = dr dr = h i (r)h j (r)du i du j = i,j g ij (r)du i du j (1.10.5) i,j torheten g ij (r) kallas en metrisk koefficient. ( Denna storhet är en andra ordningens tensor). Om vi sätter in (1.10.3) i (1.10.2) får vi g ij = x u i x u j + y u i y u j + z u i z u j (1.10.6) För ortogonala koordinater kan man visa att g ij = g ii δ ij. Ortogonala kroklinjära koordinater För ortogonala kroklinjära koordinater gäller speciellt û i û j = δ ij

17 17 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 vilket medför att ekv.(1.10.5) förenklas till ds 2 = h i (r)h i (r)(du i ) 2 = i g ii (r)(du i ) 2 = i (ds i ) 2 (1.10.7) i Exempel : - Cylindriska koordinater (ρ, φ, z) h ρ = 1, h φ = ρ, h z = 1 - färsikt polära koordinater(r, θ, φ) h r = 1, h θ = r, h φ = r sin θ Integraler. V dr = i V i h i du i (1.10.8) Om vi ur ds 2 = i (h i du i ) 2 (1.10.9) definierar ds i = h i du i ( ) kan vi bestämma yt- och volymselement som d ij = ds i ds j = h i h j du i du j och dτ = ds 1 ds 2 ds 3 = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 ( ) En ytintegralen kan då uttryckas som V d = V 1 h 2 h 3 du 2 du 3 + V 2 h 3 h 1 du 3 du 1 + V 3 h 1 h 2 du 1 du 2 ( ) Differentialrelationer i kroklinjära koordinatsystem. Gradient: Betrakta den komponent av φ(u 1, u 2, u 3 ) som är normal till den familj av ytor för vilka u 1 = konstant. φ = φ = φ (1.11.1) 1 s 1 h 1 u 1 Upprepar vi operationen i (1.11.1) för de övriga två generaliserade koordinaterna får vi Eller φ(u 1, u 2, u 3 ) = û 1 φ s 1 + û 2 φ s 2 + û 3 φ s 3 φ φ φ = û 1 + û 2 + û 3 h 1 u 1 h 2 u 2 h 3 u 3 φ = i=1 1 h i φ u i û i (1.11.2)

18 18 Nils Elander, 08/ / :2:1 Divergens: Betrakta Gauss sats Låt nu volymen gå i gräns och bilda V(r) dτ = V(r) d (1.7.9) V(u) = lim dτ 0 V d dτ (1.11.3) med dτ = ds 1 ds 2 ds 3 = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 Lägg märke till att u i bildar ett högerhandsystem så att û 1 û 2 = û 3 Ytintegralen för de två sidorna som svarar mot att u 1 = konstant ges på samma sätt som tidigare i avsnitt 1.7 av [ V 1 h 2 h 3 + ] (V 1 h 2 h 3 ) du 1 du 2 du 3 V 1 h 2 h 3 du 2 du 3 = u 1 Om vi generaliserar detta till alla riktningar får vi V = 1 h 1 h 2 h 3 [ u 1 (V 1 h 2 h 3 ) + u 2 (V 2 h 3 h 1 ) + u 1 (V 1 h 2 h 3 ) du 1 du 2 du 3 ] (V 3 h 1 h 2 ) u 3 (1.11.4) (1.11.5) Vi alltså visat Rotation: V = i=1 1 1 (p i V i ) med p i = h 1h 2 h 3 p i h i u i h i

19 19 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 Betrakta på samma sätt som för divergensen en yta med konstant u 1 Ur V d = V h 2 h 3 du 2 du 3 (1.11.6) 1 och genom att utnyttja tokes sats V dλ = V d (1.8.8) får vi att V h 2 h 3 du 2 du 3 = 1 V dλ (1.11.7) då linjeintegralen i ytan som definieras av att u 1 = konstant. Genom att följa slingan i figuren får vi V dλ = V 2 h 2 du 2 + [ V 3 h 3 + ] (V 3 h 3 ) du 2 u 2 du 3 [ V 2 h 2 + ] (V 2 h 2 ) du 3 u 3 du 2 V 3 h 3 = [ (h 3 V 3 ) ] (h 2 V 2 ) u 2 u 3 du 2 du 3 (1.11.8) Låt nu ytan gå i gräns du i 0 V = 1 1 h 2 h 3 [ u 2 (h 3 V 3 ) ] (h 2 V 2 ) u 3 (1.11.9)

20 20 Nils Elander, 08/ / :2:1 Generalisera till alla tre dimensionerna 1 V = h 1 h 2 h 3 h 1 û 1 h 2 û 2 h 3 û 3 u 1 u 2 u 3 h 1 V 1 h 2 V 2 h 3 V 3 ( )